Tag 是线段树实现区间修改的重要技巧，它能够延迟更新子树从而达到降低时间复杂度．在只有一种区间修改类型的情况下，Tag 的 push 处理十分简单．但在多种区间修改类型的情况下，情况就变得不容乐观了：直接根据 Tag 施加的先后顺序来维护 Tag 队列，时间复杂度并不好看．设法将当前节点的 Tag 与子节点的旧 Tag 合并，就成了优化复杂度的关键．其中，不同修改操作之间的影响关系决定了 Tag 被 push 的先后顺序．

在不基于原有特征上人为构造新特征的前提下，线性模型（只有一层的神经网络）很难解决复杂问题，甚至连给简单交叉的点集分类都手足无措． 异或问题 一度成为人工神经网络的梦魇，相关研究停滞了一段时间，直到 20 世纪 70 年代，一种基于 反向传播算法 的神经网络模型很好地解决了这一问题． 此后，对人工神经网络的相关研究迅猛发展．

回归仅仅是让曲线尽可能靠近数据点吗？我们将从 概率与统计 的视角重新看待回归这件事．

分类 也是机器学习的一类，用于探索 离散 的自然． 逻辑回归 名字带着回归，实际上用于分类，它是线性回归的延申，只不过把回归的值域映射到了离散集．

回归 是机器学习的一类，用于探索 连续 的自然． 线性假设 是预测自然的最简单的方式，是最天真烂漫的方式，但也是最基本的方式． 因此 线性回归 是机器学习的基础，而后的非线性假设相应的非线性回归也是线性回归的延申．

机器学习的目的：根据现有数据构建合理的映射．本文提供机器学习的大致框架．

机器学习的梯度下降法离不开微积分（尤其是 涉及矩阵乃至高维张量的微积分），机器学习涉及的大量元素的批量操作离不开线性代数（科学计算工具为批量操作提供了一系列的优化）．