Finite-Dimensional Vector Space (LADR Chapter 2)

Linear Algebra Done Right 的第二章讲解了有限维向量空间的性质．这个章节通过张成向量组和无关向量组，管中窥豹地揭示了有限维向量空间的特点，从而引入了基和维数这两个基本工具，这让我们能够更容易把握某个向量空间的基本特征．

张成空间和线性无关性 ​

线性组合 ​

$V$ 中一个向量组 $v_1, \cdots, v_m$ 的 线性组合 是向量

$$a_1v_1 + \cdots + a_mv_m$$

其中 $a_i \in \mathbf F$，$i = 1, \cdots, m$．

张成空间 ​

定义 ​

$V$ 中向量组 $v_1, \cdots, v_m$ 所有的线性组合所构成的集合即为 张成空间 (span)

$$\text{span}(v_1, \cdots, v_m) = \{a_1v_1 + \cdots + a_mv_m : a_i \in \mathbf F,\, i = 1, \cdots, m\}$$

定义空向量组 $(\:\:)$ 的张成空间为 $\{0\}$，即 $\text{span}(\:\:) = \{0\}$．

性质 ​

1. ⭐ $\text{span}(v_1, \cdots, v_m)$ 是 $V$ 的子空间；

证明：加法恒等元 $0 = 0v_1 + \cdots + 0v_m \in \text{span}(v_1, \cdots, v_m)$；

易证 $\text{span}(v_1, \cdots, v_m)$ 对加法和标量乘法都封闭．

2. $\text{span}(v_1, \cdots, v_m)$ 是包含 $v_i$ 的 $V$ 的最小子空间．

证明：思路与「证明子空间的和是包含所有这些子空间的最小子空间」一致,利用 $V$ 的封闭性即可得出结论．

张成 ​

如果 $\text{span}(v_1, \cdots, v_m) = V$，那么称向量组 $v_1, \cdots, v_m$ 张成 (spans) $V$．

有限维向量空间 ​

如果一个向量空间能够由某个有限长度的向量组张成得来，那么称该向量空间是 有限维的 (finite-dimensional)，否则称是 无限维的 (infinite-dimensional)．

$\mathbf F^n$ 就是有限维向量空间，因为可由 $(1, \cdots, 0), \cdots, (0, \cdots, 1)$ 张成得来．

多项式空间 ​

多项式 ​

函数 $p:\mathbf F \rightarrow \mathbf F$ 满足

$$p(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_mz^m$$

其中 $a_i \in \mathbf F$，$i = 0, 1, 2, \cdots, m$，则称函数 $p$ 为系数在 $\mathbf F$ 中的 多项式．

由反证法可知，多项式 (函数) 的系数由多项式 (函数) 唯一决定．

如果 $a_m \ne 0$，则称 $p$ 的 次数 是 $m$，记作 $\text{deg}\,p = m$．

规定恒等于 $0$ 的多项式的次数为 $-\infty$，并规定 $-\infty < m$．

多项式空间 ​

系数在 $\mathbf F$ 中的全体多项式所构成的集合记作 $\mathcal P(\mathbf F)$．

系数在 $\mathbf F$ 中，且次数不高于 $m$ 的全体多项式所构成的集合记作 $\mathcal P_m(\mathbf F)$．

1. $\mathcal P(\mathbf F)$ 是 $\mathbf F^\mathbf F$ 的子空间；
2. $\mathcal P_m(\mathbf F) = \text{span}(1, z, \cdots. z^m)$．

这里 $z^k$ 是函数 $f:z\rightarrow z^k$ 而不是值，向量空间 $\mathcal P(\mathbf F)$ 里的向量都是函数．

可见 $\mathcal P(\mathbf F)$ 是无限维向量空间，而 $\mathcal P_m(\mathbf F)$ 是有限维向量空间．

线性无关 ​

引入 ​

考虑 $\text{span}(v_1, \cdots, v_m)$ 中的一个向量 $v$，由张成空间的定义得知，存在 $a_i \in \mathbf F$，使得

$$v = a_1v_1 + \cdots + a_mv_m$$

$v$ 的表示是否唯一？假设将其与另一表示相减，即可转化成线性无关的定义：

定义 ​

如果 $V$ 中向量组 $v_1, \cdots, v_m$ 的线性组合

$$a_1v_1 + \cdots + a_mv_m = 0$$

的充要条件是 $a_i = 0$，$i = 1, \cdots, m$，则称该向量组是 线性无关的 (linearly independent)，否则称是 线性相关的 (linearly dependent)．

规定空向量组 $(\:\:)$ 是线性无关的．

性质 ​

1. 向量组 $v_1, \cdots, v_m$ 是线性无关的，当且仅当 $\text{span}(v_1, \cdots, v_m)$ 中的每个向量都能被唯一地表示成 $v_1, \cdots, v_m$ 的线性组合；
2. 线性无关组中任意长度的向量组都是线性无关的；
3. 在向量组中，若存在向量是若干其他向量的线性组合，则整个向量组是线性相关的；
4. ⭐ (线性相关性引理) 在线性相关组 $v_1, \cdots, v_m$ 中，必存在 $v_k$，使得 $v_k \in \text{span}(v_1, \cdots, v_{k-1})$；更进一步，移除 $v_k$ 后，向量组的张成空间不变；
5. 特别地，当上面的 $k$ 取得最小值时，$v_1, \cdots, v_{k-1}$ 是线性无关组；
6. ⭐ (无关组长度存在上界) 有限维向量空间 $V$ 中，无关组的长度不能超过张成组的长度，也就是说，$\forall\, \text{span}(v_1, \cdots, v_n) = V$，对于线性无关组 $u_1, \cdots, u_m$，都有 $m \le n$；

性质 6 的证明依赖于用 $u$ 替换张成组向量 $v$ 的过程：

设张成组 $B_0 = (v_1, \cdots, v_n)$，

第一步，将 $u_1$ 插在 $B_0$ 的最前面，得到向量组 $B_0' = (u_1, v_1, \cdots, v_n)$，

因 $u_1 \in V = \text{span}\, B_0$，故 $B_0'$ 线性相关，并仍张成 $V$，根据线性相关性引理，我们一定能找出 $B_0'$ 中的某个向量，剔除它后仍张成 $V$．但它不能是 $u_1$，这是因为排在它前面的向量组是 $(\:\:)$，其张成空间是 $\{0\}$ ，但 $u_1 \notin \{0\}$，因此某个 $v_j$ 被剔除，我们得到了新的向量组 $B_1$，并且 $\text{span}\,B_1 = V$．

第 $k$ 步：此时 $B_{k-1} = (u_1, \cdots, u_{k-1}, \cdots, v_j, \cdots)$，满足 $\text{span}\,B_{k-1} = V$．

让 $u_k$ 紧跟 $u_{k-1}$，得到向量组 $B_{k-1}' = (u_1, \cdots, u_k, \cdots, v_j, \cdots)$，因$u_k \in V = \text{span}\, B_{k-1}$，故 $B_{k-1}'$ 线性相关，并仍张成 $V$，根据线性相关性引理，我们一定能找出 $B_{k-1}'$ 中的某个向量，剔除它后仍张成 $V$．但它不能是某个 $u_i$，这是因为向量组 $(u_1, \cdots, u_i)$ 线性无关，$u_i\notin \text{span}(u_1, \cdots, u_{i-1})$ ，故某个 $v_j$ 被剔除，我们得到了新的向量组 $B_k$，并且 $\text{span}\,B_k = V$．

假如 $m>n$，那么第 $n$ 步完成后，$B_n = (u_1, \cdots, u_n)$，$\text{span}\,B_n = V$，试将 $u_{n+1}$ 插入 $B_n$ 中，并紧随 $u_n$ 后面，得到向量组 $B_{n+1}' = (u_1, \cdots, u_{n+1})$，但因 $u_{n+1} \in V = \text{span}\,B_n$，故 $B_{n+1}'$ 线性相关，而这与 $(u_1, \cdots, u_{n+1})$ 无关矛盾．

故 $m \le n$．

7. 有限维向量空间的子空间都是有限维的．

证明：只需要努力扩充线性无关组使它成为子空间的张成组即可．

在扩充过程中，假如现在的无关组是 $(u_1, \cdots, u_{k-1})$，那么如果还是不能张成子空间 $U$，根据子空间的封闭性，$\text{span}(u_1, \cdots, u_{k-1}) \sub U$，但又 $\text{span}(u_1, \cdots, u_{k-1}) \ne U$，因此我们总能在 $U$ 中找出 $u_k \notin \text{span}(u_1, \cdots, u_{k-1})$ 用于扩充无关组．

由于扩充的线性无关组长度存在上界，因此扩充的过程是可以终止的，最终能得到子空间的张成组．

例子 ​

1. 多项式 $1, z, \cdots, z^m$ 是线性无关的；

2. 长度为 $1$ 的线性无关组里的向量只能是非零向量；

3. 长度为 $2$ 的线性无关组里的两个向量必共线，即任一向量都互为另一向量的标量倍；

4. 如果向量组中存在 $0$，则该向量必然线性相关．换言之，线性无关组的向量都非零；

5. 长度小于 $n$ 的向量组不可能张成 $\mathbf R^n$．类似地，$\mathcal P_4(\mathbf F)$ 中可能存在包括五个多项式的线性无关组，但一定不存在包括六个多项式的线性无关组；

只需构造 $n$ 个正交基底即可借助性质 6 运用反证法得证；

6. 实向量空间 $\mathbf C$ 中，向量组 $1 + i$，$1 - i$ 线性无关；

7. 复向量空间 $\mathbf C$ 中，向量组 $1 + i$，$1 - i$ 线性相关，因为 $1 + i = i(1-i)$；

8. 设 $v_1, \cdots, v_m$ 在 $V$ 中线性无关， $w \in V$，如果 $v_1 + w, \cdots, v_m + w$ 线性相关，那么 $w \in \text{span}(v_1, \cdots, v_m)$；

证明：容易得到

$$-(a_1+\cdots+a_m)w=a_1v_1+\cdots+a_mv_m$$

反证法得到 $a_1 + \cdots + a_m \ne 0$，从而得到 $w \in \text{span}(c_1, \cdots, v_m)$．

9. ⭐ 设 $v_1, \cdots, v_m$ 在 $V$ 中线性无关， $w \in V$．容易证明：$v_1, \cdots, v_m, w$ 线性无关当且仅当 $w \notin \text{span}(v_1, \cdots, v_m)$；

例 9 是证明向量组线性无关的重要方法．

灵活运用逆否命题和反证法即可．

10. ⭐ $V$ 是无限维的，当且仅当在 $V$ 中存在无穷序列 $\{v_i\}$，使得 $\forall\, m \in \mathbf N_+$，$v_1, \cdots, v_m$ 线性无关；

例 10 是证明向量空间是无限维的重要方法．

证明：必要性 ($\Rightarrow$)：因为 $V$ 是无限维的，有限长度 0 的向量组 $(\:\:)$ 以及有限长度 $1$ 的非零向量组 $w$ 均无法张成 $V$，因此 $V \ne \{0\}$，我们就能在 $V$ 中找出 $v_1 \ne 0$，此时向量组 $v_1$ 线性无关．

假设已经找到了线性无关组 $v_1, \cdots, v_k$，由于 $V$ 是无限维的，我们找不到有限长度的向量组能够张成 $V$，故 $\text{span}(v_1, \cdots, v_k) \ne V$，但又 $\text{span}(v_1, \cdots, v_k) \sub V$，因此总能在 $V$ 中找出 $v_{k+1} \notin \text{span}(v_1, \cdots, v_k)$，(根据例 9) 我们从而找到了新的线性无关向量组 $v_1, \cdots, v_k$．

于是我们就构造出了无穷序列 $\{v_i\}$，使得 $\forall\, m \in \mathbf N_+$，$v_1, \cdots, v_m$ 线性无关．

充分性 ($\Leftarrow$)：假设 $V$ 是有限维的，那么 $V$ 就存在有限长度的张成组，也就是说，$V$ 中的线性无关组长度存在上界，但这与条件显然矛盾：因为我们可以取 $m = n + 1$，此时无关组长度超过了张成组长度．

11. $\mathbf F^\infty$ 是无限维的；

12. 由区间 $[0, 1]$ 上的所有连续实值函数构成的实向量空间也是无限维的；

根据例 10，这些都能通过构造无关组的无穷序列得证．

13. 设 $p_0, p_1, \cdots, p_m \in \mathcal P_m(\mathbf F)$，且 $p_i(2) = 0$，则 $p_0, p_1, \cdots, p_m$ 在 $\mathcal P_m(\mathbf F)$ 中线性相关．

想象两条共零点的一次函数，三条共零点的二次函数，联系代数基本定理进行因式分解，无关组长度存在上界．

基 ​

我们都知道无关组长度存在上界，那么当无关组长度似乎达到上确界的时候会发生什么？

定义 ​

能够张成 $V$ 的线性无关组，就是 $V$ 的一个 基 (basis)．

性质 ​

1. (基的判定准则) $V$ 中某个向量组 $v_1, \cdots, v_n$ 是 $V$ 的基，当且仅当 $V$ 中任何向量 $v$ 都能被唯一地写成线性组合的形式：$v = a_1v_1 + \cdots + a_nv_n$，$a_i \in \mathbf F$，$i = 1, \cdots, n$；

2. ⭐ 每个张成组都能被剃成基，也就是说：张成组长度 $\ge$ 维数；

证明：设 $v_1, \cdots, v_n$ 张成 $V$．构造过程 (剔除法)：

第一步，如果 $v_1 = 0$，那么剔除 $v_1$，否则保留；

第 $k$ 步，如果 $v_k$ 落在前面 $\text{span}(v_1, \cdots, v_{k-1})$ 里 (这里 $(v_1, \cdots, v_{k-1})$ 中的某些向量可能已被剔除)，那么剔除 $v_k$，否则保留；

可以看到，每次剔除始终保证前面的向量组线性无关．而且根据线性相关引理，每次剔除后的张成空间仍为 $V$．因此完成第 $n$ 步即可得到一个基．

强调：剔除法：张成组 $\rightarrow$ 基．

3. 有限维向量空间都有基；

因为根据有限维向量空间的定义，它存在张成组，而张成组又包含基．

4. ⭐ 每个无关组都能被扩成基，也就是说：无关组长度 $\le$ 维数；

证明：考虑将无关组 $u_1, \cdots, u_m$ 拼在某张成组 $w_1, \cdots, w_n$ 的前面，那么得到的新的向量组显然也是一个张成组，根据性质 2，运用剔除法即可得到一个基．在此期间，无关组 $u_1, \cdots, u_m$ 中的任何向量从未被剔除，因此最终得到的基可视作基于无关组 $u_1, \cdots, u_m$ 扩充的结果．

5. ⭐ (向量空间的直和分解) 有限维向量空间 $V$ 的子空间 $U$ 关于 $V$ 的“直和补” $W$ 也是子空间，即存在子空间 $W$，使得 $V = U \oplus W$．

证明：显然 $U$ 是有限维的，取其基 $u_1, \cdots, u_m$，显然在 $V$ 中线性无关，将 $U$ 的基扩充为 $V$ 的基 $u_1, \cdots, u_m, w_1, \cdots, w_n$，设 $W =\text{span}(w_1, \cdots, w_n)$，则 $W$ 正是“直和补”．

为了证明 $V = U \oplus W$，只需证明 $V = U + W$，且 $U \cap W = \{0\}$．

因为 $V$ 的基张成 $V$，所以 $V$ 中任一向量 $v$ 可表示成

$$v = a_1u_1+\cdots+a_mu_m + b_1w_1+\cdots+b_nw_n=u+w$$

$u \in U$，$w \in W$，故 $V = U + W$；

设 $v_0 \in U \cap W$，只需证明 $v_0 = 0$，而这并不难，利用 $V$ 的基线性无关即可．

6. 基的长度不依赖于基的选取．

证明：设 $V$ 的两个不同的基 $B_1$ 和 $B_2$，其中 $B_1$ 线性无关，$B_2$ 张成 $V$，那么 $B_1$ 的长度不超过 $B_2$ 的长度；同理 $B_2$ 的长度不超过 $B_1$ 的长度；于是向量空间所有基的长度都是相同的．

例子 ​

1. 向量组 $1, z, \cdots, z^m$ 是 $\mathcal P_m(\mathbf F)$ 的一个基，也被称作标准基；
2. 向量组 $(1, -1, 0), (1, 0, -1)$ 是 $P = \{(x, y, z) \in \mathbf F^3 : x + y + z = 0\}$ 的一个基；

一方面，$(1, -1, 0), (1, 0, -1)$ 是线性无关组；另一方面，

$$a_1(1, -1, 0) + a_2(1, 0, -1) = (a_1 + a_2, -a_1, -a_2) \in P$$

即 $\text{span}((1, -1, 0), (1, 0, -1)) \sub P$．令 $(a_1 + a_2, -a_1, -a_2) = (x, y, z)$，解得

$$(a_1, a_2) = (-y, -z) \in \mathbf F^2$$

此时

$$(x, y, z) = (-y)(1, -1, 0) + (-z)(1, 0, -1)$$

故 $P \sub \text{span}((1, -1, 0), (1, 0, -1))$，从而 $\text{span}((1, -1, 0), (1, 0, -1)) = P$．

3. ⭐ 设 $V$ 是有限维的，$U$ 和 $W$ 都是 $V$ 的子空间，且 $V = U + W$，那么存在由 $U \cup W$ 中向量组成的 $V$ 的基；

解说：$V$ 的维度由两个子空间 $U$ 和 $V$ 的维度“张成”而来，但 $U$ 和 $V$ 在维度上是“杂糅”的，并没有“独立”，$V$ 的基混在 $U \cup W$ 里．

证明：取 $U$ 和 $W$ 的基分别为 $u_1, \cdots, u_m$ 和 $w_1, \cdots, w_n$，则 $\forall\, v \in V$，

$$v = u + w = a_1u_1 + \cdots + a_mu_m + b_1w_1 + \cdots + b_nw_n$$

$u \in U$，$w \in W$，$a_i, b_i \in \mathbf F$，故 $\text{span}(u_1, \cdots, u_m, w_1, \cdots, w_n) = V$，运用剔除法即可得到 $V$ 的一个基，这个基由 $U \cup W$ 中向量组成．

4. ⭐ 有限维向量空间 $V$ 的直和分解 $V = U \oplus W$ 中， $U$ 和 $W$ 是 $V$ 的子空间，则 $U$ 基和 $W$ 基共同构成 $V$ 的基．

解说：$V$ 的维度被“切”成两半，一半维度给了 $U$，另一半维度给了 $W$，而基的作用就是“提供维度”，因此 $V$ 的基也被成了两组，一组给了 $U$，另一组给了 $W$．

证明：显然 $U$ 基和 $W$ 基共同张成 $V$，只需证明 $U$ 基和 $W$ 基共同构成线性无关组即可．由于 $U \cap W = \{0\}$，结合 $w_i \in W$ 且 $w_i \ne 0$ 容易得到 $w_i \notin \text{span}(u_1, \cdots, u_m)$，最终容易得到 $U$ 基和 $W$ 基共同构成线性无关组．

维数 ​

有限维向量空间基的长度不依赖于基的选取，这个长度似乎反映了向量空间的某种性质．

定义 ​

有限维向量空间 $V$ 的 维数 (dimension) 就是任一基的长度，记作 $\dim V$．

性质 ​

1. ⭐ 设 $V$ 是有限维的，长度为 $\dim V$ 的无关组必为 $V$ 的基；

只要长度恰当，我们就终于不用煞费苦心地验证无关组是否张成 $V$ 了．这个无关组扩充的时候没有添加任何新的向量，自动证明了这样的无关组必定是基．

2. 设 $V$ 是有限维的，长度为 $\dim V$ 的张成组必为 $V$ 的基；

只要长度恰当，我们就终于不用煞费苦心地验证张成组是否无关了．

3. ⭐ $V$ 是有限维的，$U$ 是 $V$ 的子空间，则 $\dim U \le \dim V$，等号仅在 $U = V$ 时成立；

把 $U$ 的基看成 $V$ 中的无关组，把 $V$ 的基看成张成组即可得到 $\dim U \le \dim V$，结合性质 1 可得等号的成立条件．

4. ⭐ (维数定理) 设 $U$，$W$ 为同一有限维向量空间的子空间，则

   $$\dim (U + W) = \dim U + \dim W - \dim (U \cap W)$$

   特别地，若为直和，则有 (就像不相交并的元素个数一样)

   $$\dim (U \oplus W \oplus \cdots) = \dim U + \dim W + \cdots$$

证明思路：以 $U \cap W$ 的基 $v_i$ 为根基，分别向 $U$ 和 $W$ 扩基得到 $u_i$ 和 $w_i$ ，欲证明这三部分基 $u_i, v_i, w_i$ 拼在一起就是 $U + W$ 的基．显然这些向量能够张成 $U + W$，重点证明它们的无关性．

这里要明确线性无关的本质：将无关组任意分成任意组，每个无关组张成的空间，彼此交集仅在零向量处．上面所述等价于任意分成两组．(实际上我们为待确定无关性的组安排构造路径时，只需要构造一条即可，因为这条路径走完后，整个组瞬间就无关了，此时无关组分组的任意性就保证了其他所有分组方式都能满足「每个无关组张成的空间，彼此交集仅在零向量处」，因此其它所有路径，一路走到黑，最后还是得到无关的结论．)

假设 $(u_i, v_i, w_i)$ 相关．想象它原本是无关的，某个无关组的加入使它变成相关的了，这中途 $(\:\:)\rightarrow(v_i)\rightarrow(v_i, u_i)\rightarrow(v_i, u_i, w_i)$ 只有以下情况：

1. 是 $w_i$ 基的加入破坏了 $(v_i, u_i)$ 的无关性 (这个无关性是假设出来的，实际加入过程是情况 3, 2, 1 倒过来看的）：假设 $w_i$ 张成空间中一向量 $w$ 落在了 $U(u_i, v_i)$ 中，由于 $w$ 也在 $W(v_i, w_i)$ 中，因此 $w$ 只能在 $(U \cap W)(v_i)$，这意味着我们这样做反倒使得 $W(v_i, w_i)$ 基的无关性被破坏了（$w_i$ 张出来的向量进了 $v_i$ 张成空间里面)，这种情况不可取；
2. 是 $u_i$ 基的加入破坏了 $(v_i)$ 的无关性：$U(u_i, v_i)$ 基本来就是无关的，这种情况显然不可能；
3. 是 $v_i$ 基的加入破坏了 $(\:\:)$ 的无关性：$v_i$ 基是无关的，显然不可能．

这几种情况都不可能，于是 $(u_i, v_i, w_i)$ 无关，它成为了 $U + W$ 的基．

例子 ​

1. 如果 $U = \{(x,y,z) \in \mathbf F^3: x+y+z=0\}$，那么 $\dim U = 2$，因为 $U$ 的一个基是 $(1, -1, 0), (1, 0, -1)$，它的长度是 $2$；

可以说，找到了基就找到了维数，求维数的直接方法就是找基．

2. 现有 $\mathcal P_3(\mathbf R)$ 一子空间 $U = \{p\in\mathcal P_3(\mathbf R) : p'(5) = 0\}$，尝试寻找它的一个基；

重点是找出 $U$ 的维数．

1. 先在 $U$ 里面找几个向量再说：不难找出向量 $1$，$(x-5)^2$，$(x-5)^3$ 在 $U$ 里 ($x - 5$ 不在里面哦)；
2. 再看看它们的无关性是否优良：不难验证它们线性无关；
3. 由于无关组都能够被扩成基，这保证 $U$ 基长度的下限，也就是 $U$ 维数的下限：$3 \le \dim U$；
4. 由于子空间的维数存在上界，$\dim U \le \dim \mathcal P_3(\mathbf R) = 4$，那等号能否成立？就看 $U$ 是否就是 $\mathcal P_3(\mathbf R)$．因为 $\mathcal P_3(\mathbf R)$ 更大，我们尝试在 $\mathcal P_3(\mathbf R)$ 里找几个向量看看，发现 $x - 3$ 不在 $U$ 里面，于是 $U \ne \mathcal P_3(\mathbf R)$，我们就有$\dim U < \dim \mathcal P_3(\mathbf R) = 4$；
5. 于是 $3 \le \dim U < 4$，从而 $\dim U = 3$，长度为 $\dim U$ 的无关组必为 $U$ 的基，我们找到了 $U$ 一个基 $1$，$(x-5)^2$，$(x-5)^3$；

3. 设 $v_1, \cdots, v_m$ 在 $V$ 中线性无关，$w \in V$，证明：

   $$\dim \text{span} (v_1 + w, \cdots, v_m + w) \ge m - 1$$

证明：张成组必能剃成基，这说明张成空间最多就 $m$ 维 (也就是没剃)，于是待证维数要么为 $m - 1$，要么为 $m$．

注意无关组 $v_i$，每个向量被加上了 $w$，但我们并不知道 $w$ 在不在这个无关组的张成空间里面．如果在里面，那么新的向量组就相关了，反之则保持无关，这个问题于是变得棘手起来．

在张成组现有向量里消除 $w$ 的方法自然是向量互减，得到 $v_2 - v_1$，$v_3 - v_2$，$\cdots$，$v_m - v_{m - 1}$，而它们显然无关，并且还在张成空间里面．

无关组长度为 $m - 1$，并且能够扩成基，于是张成空间维数自然不低于 $m - 1$，问题得证．

4. 在十维向量空间 $V$ 中有子空间 $V_1$，$V_2$，$V_3$，其中 $\dim V_1 = \dim V_2 = \dim V_3 = 7$，证明：$V_1 \cap V_2 \cap V_3 \ne \{0\}$．

证明：容易联想到维数定理，先从 $V_1 \cap V_2$ 下手：

$$\dim (V_1 \cap V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim (V_1 + V_2)$$

由于 $V_1 + V_2$ 是 $V$ 的子空间，因此 $\dim(V_1 + V_2) \le \dim V = 10$，故

$$\dim (V_1 \cap V_2) \ge 7 + 7 - 10 = 4$$

现在关注 $V_1 \cap V_2 \cap V_3$，有

$$\begin{aligned}[l] \dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) &= \dim(V_1 \cap V_2) + \dim V_3 - \dim(V_1 \cap V_2 + V_3) \\ &\ge 4 + 7 - \dim(V_1 \cap V_2 + V_3) \\ &= 11 - \dim(V_1 \cap V_2 + V_3) \end{aligned}$$

其中 $V_1 \cap V_2$ 是子空间，因此 $V_1 \cap V_2 + V_3$ 也是子空间，故

$$\dim (V_1 \cap V_2 \cap V_3) \ge 11 - 10 = 1$$

从而 $V_1 \cap V_2 \cap V_3 \ne \{0\}$．